干货丨可转债定价模型理论综述

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介绍

一个完善的可转债定价模型可以为投资者的投资行为提供有力的参考，同时也为可转债的上市价格提供了有价值的论据。 因此，我们将在基础研究系列中创建一个子系列来讨论理论定价的来龙去脉。 本主题将首先关注定价模型的理论基础。

可转债定价的发展历程。 根据定价思路，可转债定价可分为整体定价法和成分定价法。 按定价技术可分为解析解法、有限差分法、二叉树法、蒙特卡洛法等。 按风险因素来分，可分为以公司价值定价和以股价定价。

定价思路。 成分定价法：思路是将可转换债券的价值分解为债券基础价值和期权价值。 整体定价法：思路是直接以整个可转债为定价对象。 成分定价法适用于可分离可转换公司债券的定价，整体定价法适用于不可分离可转换公司债券的定价。

定价技巧 - 关系比较。 非数值算法包括解析解，数值算法包括有限差分法、二叉树法和蒙特卡洛法。 数值算法之间的关系：二叉树法和有限差分法在概念上非常相似。 有限差分法可以看作是二叉树法的推广和推广，都是由后往前的定价思想。 蒙特卡洛法不同于二叉树法和有限差分法，它采用了前向后向的定价思想。

定价技巧——利弊比较。 解析解：优点是（1）非数值算法高现金股利政策优缺点，易于操作。 (2)运行效率最高。 缺点是计算精度最差。 具体原因是（1）解析解可以考虑的因素有限，各部分期权定价不准确。 (2)忽略选项之间的联系。 有限差分法：优点是（1）可以解决提前执行的问题。 (2)计算效率和计算精度在数值算法中最高。 缺点是（1）不适合解决路径依赖问题。 (2)涉及较多的矩阵运算，不直观，实际中很少使用。 二叉树法：优点是（1）可以解决提前执行的问题。 (2) 与有限差分法相比，更直观，在实践中应用更广泛。 缺点是（1）不适合解决路径依赖问题。 (2) 算法优化空间有限，效率和精度均低于有限差分法。 蒙特卡洛法：优点是可以解决复杂的路径依赖问题，灵活性是所有数值算法中最高的。 缺点是（1）计算效率是所有数值算法中最差的。 （二）难以解决提前执行问题。

风险因素。 基于公司价值定价：优点是可以在定价模型的边界条件中考虑违约，从而更准确地描述可转债的信用风险。 缺点是很难获得公司价值，也很难获得公司价值的波动。 根据股票价格定价：优点是股票价格和股票波动率更容易获得，也更实用。 缺点是定价模型的边界条件不能考虑违约，信用风险只能简单地通过信用利差来衡量。

可转债具体定价方法介绍。 至于二叉树方法，我们详细介绍了不考虑信用风险的二叉树模型和考虑信用风险的Tsiveriotis和Fernandes（1998）模型。 其中，后者将可转债分为债权部分和权益部分。 贷方部分按包含信用风险的利率贴现，权益部分按无风险利率贴现。 通过区别对待，该模型更好地解决了简单地使用放大无风险利率作为贴现率来衡量信用风险的不一致性。 在蒙特卡洛方法方面，我们引入了郑振龙和林海（2004）将可转债期权视为欧式期权的模型，以及将可转债期权视为美式期权的LSM模型。 计算思路是先降低触发向下修正条款的路径的转股价格，然后计算可转债在赎回路径和非赎回路径上的价值，最后对所有路径的结果进行平均。 LSM 模型在非赎回路径上引入 Longstaff 和 Schwartz（2001）的方法来解决提前执行的问题。

文本

由于可转债条款的复杂性，能否实现可转债理论上的准确定价，长期以来成为市场关注的焦点。 一个完善的可转债定价模型可以为投资者的投资行为提供有力的参考，同时也为可转债的上市价格提供了有价值的论据。 因此，我们将在基础研究系列中创建一个子系列来讨论理论定价的来龙去脉。 本主题将首先关注定价模型的理论基础。

可转换债券定价的历史

可转换债券可视为债券和期权的组合。 由于期权定价在可转换债券的定价中尤为重要，可转换债券的定价理论在1973年经典期权定价理论问世后逐渐发展起来。Ingersoll（1977）在这方面进行了开创性的研究。 具体来说，按照定价思路，可转债的定价可以分为整体定价法和成分定价法。 按定价技术可分为解析解法、有限差分法、二叉树法、蒙特卡洛法等。 按风险因素来分，可分为以公司价值定价和以股价定价。

组件定价和整体定价

在研究可转债定价时，首先要明确是对可转债整体进行定价，还是将可转债分解为债基和期权两部分，分别对可转债进行定价。 理论上，前者称为整体定价法，后者称为成分定价法。

成分定价法将可转换债券的价值分解为债券基值与期权价值之和。 债务基数的计算没有难度，直接借助现有的期权定价理论计算期权价值，主要有Black-Scholes公式、二叉树法、有限差分法、蒙特卡洛法等。整体定价方式是直接以整支可转债为定价对象。 定价仍然依赖于期权定价理论，但不区分债券底部和期权部分，需要进一步考虑债券的信用风险和利率条款等多种因素。

成分定价法与整体定价法的联系点是英格索尔（Ingersoll，1977）的研究。 英格索尔采用整体定价法，但在一定的假设下，得出整体定价法与成分定价法结果相等的结论。 具体来说，Ingersoll结合Black-Scholes模型构建了可转债价格的偏微分方程，并利用无套利原理求得偏微分方程的边界条件。 该模型假设可转债不派发现金红利，可转债的利息部分以贴现方式支付，因此得到偏微分方程的解析解，证明了可转债的价格能够分解为本假设下普通贴现债券的价格为权证价格减去看涨期权价格的总和。

但是，上述假设忽略了美国期权的特点，这在现实中是很难成立的。 成分定价法将转换期权、赎回期权和回售期权视为相互独立，忽略了它们之间的相互作用。 Ho和Pfeffer（1996）的研究表明，这种无知很容易造成较大的定价偏差。

基于以上原因，在可转债定价发展史上，大部分研究都采用整体定价法，成分定价法只能算是一种粗略的简化。 在使用整体定价法时，由于难以得到解析解，通常需要二叉树法、有限差分法、蒙特卡洛法等数值解。 下面对二叉树法、有限差分法、蒙特卡洛法的介绍，都是基于可转债整体的定价方法，而不是只对期权部分进行定价。

基于以上分析，我们比较了两种定价思路的优缺点，如表1所示：

各种定价技术具有不同的实用性

在讨论可转换债券的定价技术之前，我们需要回到期权定价的历史。 期权定价的方法主要有Black-Scholes公式、二叉树法、有限差分法和蒙特卡洛法。 其中Black-Scholes公式属于解析法，由Black和Scholes于1973年提出。二叉树法、有限差分法、蒙特卡罗法属于数值求解法，其中二叉树法1979 年由 Cox、Ross 和 Rubinstein 提出，1977 年由 Brennan 和 Schwartz 引入有限差分法进行期权定价，1979 年由 Boyle 引入蒙特卡洛方法。1977 年引入了期权定价。

可转债定价技术是在期权定价技术的基础上发展起来的。 Ingersoll（1977）根据模型假设得到了可转换债券的解析解。 同年布伦南和施瓦茨将有限差分法应用于可转换债券的定价。 二叉树法的出现进一步拓展了可转债的定价技术。 在 Longstaff 和 Schwartz（2001）较好地解决了美式期权定价问题之后，蒙特卡洛规则被普遍应用于可转换债券的定价。

解析解

解析解是指通过解析表达式对可转债进行定价的方法。 如果不考虑赎回期权和回售期权，解析解的公式通常为：

其中，X代表转股价格，S代表正股价，代表标的股票年化波幅，代表年化无风险利率。 同样，Black-Scholes 公式可用于为看涨期权和看跌期权定价。 综合考虑赎回期权和回售期权后的解析解公式为：可转债价值=普通债券价值+转换期权价值（看涨期权）-发行人赎回期权价值（看涨期权）+投资者回售期权价值（看跌期权）。

上述方法具有操作简单、运行效率极快的优点，但也存在明显的缺陷。 一种是成分定价的思想，忽略了选项之间的联系。 其次，解析解难以包含红利分配、提前执行、路径依赖等特征，导致对各期权的估计不准确。

为了避免上述缺点，一些学者通过借用可转换债券期权从其他角度获得解析解。 例如，周其元、吴崇峰、刘海龙（2009）不再使用普通期权，而是使用奇异期权借入可转换债券的价值。 具体而言，将可转换债券分解为对应的普通贴现债券、两种即时支付型美式二元看涨期权、一种常规淘汰式看涨期权和一种延迟支付型美式二元看涨期权。 ，得到上述四种奇异期权的解析表达式。 与蒙特卡洛方法的结论相比，证实了该方法具有更高的定价效率。 但这种方式没有考虑转售条款，难以考虑债务利息、锁定期、信用风险等条件。

有限差分法

在 Ingersoll (1977) 的研究中，由于模型假设的过度简化，获得了偏微分方程的解析解。 在后续的研究中，由于进一步考虑了定期利息支付、股票分红和回售，偏微分方程不再有解析解，需要数值解。 因此，此类模型的求解通常依赖于有限差分法或二叉树法，而有限差分法在学术论文中应用较多。

具体来说，假设股价服从以下几何布朗运动：

在此基础上，进一步给出可转债价值P需要满足的边界条件。 基于偏微分方程和边界条件，可以采用有限差分法求解可转换债券的价值。 具体来说，有限差分法的核心思想是将导数离散化，将上述偏微分方程转化为差分方程，然后用迭代法求解。 根据微分导数方式的不同，分为显式差分法和隐式差分法。 显式差分法工作量小，易于应用，但稳定性差，可能不收敛于偏微分方程的理论解； 隐式差分法具有更好的收敛稳定性。

由于可转债的偏微分方程与Black-Scholes偏微分方程相同，实际应用中的区别主要在于边界条件的处理。 由于在数学和数值分析的文献中有很多算法有助于改进有限差分法，因此其运算速度可以比二叉树法更快，运算结果也更准确。 二叉树法的灵活性比有限差分法差，因此有限差分法在学术论文中得到了更广泛的应用。

二叉树法

二叉树法也是一种求解偏微分方程的数值算法。 该方法只需要使用边界条件，不需要使用偏微分方程，但可以证明，当二叉树的步数足够大（一般大于200步）时，二叉树模型的解将收敛于 Black-Scholes 偏微分方程的解。 从某种意义上说，有限差分法可以看作是二叉树法的推广和推广，两者都是基于从后到前的定价思想，从而更好地解决美式期权执行的问题提前，但是相应的 很难解决路径依赖选项的问题。

与有限差分法相比，二叉树法的优点是更简单、更直观、更容易实现，因此在金融实践中得到了更广泛的应用。 下面详细介绍基于二叉树的可转债定价方法。

基于蒙特卡罗的定价

蒙特卡洛方法是期权定价的一种重要方法。 蒙特卡洛方法虽然可以很好的解决路径依赖问题，但是它采用的是前向后向的方法，这与美式衍生品从后向前的最优执行策略是矛盾的，所以在相当长的一段时间内of time 认为它只适用于解决类似欧式期权的定价问题。 可转债的嵌入式期权一般被认为是美式的，因此早期将蒙特卡罗方法应用于可转债定价的研究较少。

Longstaff 和 Schwartz（2001）发明的 LSM 模型可以很好地解决美式期权的蒙特卡罗定价问题。 这种方法易于实施，得到了广泛推广。 后来，LSM模型也被引入到可转换债券定价的研究中。 代表性研究包括 C Wide 和 A Kind (2005)。 但是，在解决美式期权问题后，蒙特卡洛法仍然存在运算速度慢的问题，其效率远远落后于二叉树法和有限差分法。 下面将详细介绍基于蒙特卡罗方法的可转债定价方法。

降级条款的处理技巧

以上定价技巧是根据国外的研究得出的。 与国外相比，国内可转债的一个重要区别在于降级条款的重要性不容忽视。 这方面的代表性研究是郑振龙、林海（2004）（以下简称ZL模型）。 我们在《转债基本面研究系列之四：转债价格修正及提前赎回条款对转债价格的影响路径分析》中论证了，只有在回售压力较大时，再发行公司才会下调转股价格. 假设修正后转股价格为Xt，应满足：

其中t为当前触发回售条款的时刻，T为到期时间； I 是从 t 到 T 的未付利息。

基于以上分析，我们比较定价技术的优缺点，如表2所示：

定价取决于风险因素的变动

在为可转债定价时，我们需要描述可转债价格的变动，这取决于基本风险因素的变动。 可转换债券定价常用的风险因素包括两类：公司价值和股价。

基于公司价值的定价

早期可转债定价的风险因素主要是公司价值。 之所以用公司价值代替股价来描述可转债，主要是因为在理论上，公司价值能够更合理地描述可转债的边界条件。 由于它可以包括公司破产等情况，因此更容易描述可转换债券的信用风险。 但由于难以直接衡量公司价值，该方法不实用，也不是可转债定价的主流。

在基于公司价值的定价方法的基础上，如果将利率作为风险因素而不是常数，则推导出基于公司价值的双因素定价方法。 利率的建模方法通常包括 Ho-Lee 模型、CIR 模型等。

根据股票价格定价

McConnell 和 Schwartz（1986）首先将股票作为风险因素来衡量可转换债券的价值，随后基于股票价格的定价取代了基于公司价值的定价，成为可转换债券定价的主流。 与基于公司价值的定价方法相比，由于可以直接观察股票价格，因此其实用性大大增强。

与基于公司价值的定价方法相比，基于股价的定价方法最大的问题是难以将信用风险纳入可转债定价的边界条件。 根据 Kang 和 Lee（1996）和 Hamilton（2001）的研究，在为可转换债券定价时，信用风险不容忽视。 但由于股价不可能为负，这就排除了未到期破产和到期违约的可能性。 因此，在实践中，为了考虑信用风险，通常的做法是将信用利差加入无风险利率作为贴现率。

为了消除简单地使用放大无风险利率作为折现率来衡量信用风险的不一致性，出现了许多相关研究。 代表人物是高盛（1994）。 高盛使用二叉树为可转换债券定价。 该方法假设当下一节点股价远高于转股价格时，期权处于深度真实货币状态，采用无风险利率贴现； 当下一节点股价远低于转股价格时，期权处于深虚状态。 在价值状态下，投资者相当于持有具有风险的普通公司债券，因此应在信用风险利差中加入折现率。 但该方法的一个参数是股票借贷利率，在我国尚未普及，因此模型的使用存在一定的局限性。

另一个具有代表性的研究是 Tsiveriotis 和 Fernandes (1998)（以下简称 TF98 模型）。 该方法将可转换公司债券分为债权部分和权益部分。 债务部分将面临违约风险； 股权部分的违约风险为零，因为发行人始终可以发行或交易自己的股票。 通过区别对待它们，该模型还部分解决了信用利差固有的不一致问题。 TF98模型最初是用有限差分法求解的，Hull(2000)用二叉树的方法描述了TF98模型。

与基于公司价值的定价方法类似，基于股票价格的定价方法也通过将利率作为风险因素来推导出一个双因素模型。 此外，由于基于股价的定价方法也使用了信用利差这个参数，如果假设这个参数不是常数，则推导出一个三因素模型，代表性的研究是Davis and Lischka (2002)。

基于以上分析，我们比较了不同风险因素的优缺点，如表3所示：

可转债定价方法详解

综合考虑可转债的定价方法。 在定价思路上，我们建议使用整体定价法而不是成分定价法，因为它不适合对不可分割的可转债进行定价。 在定价方法上，我们推荐使用二叉树法和蒙特卡洛法。 不使用解析解的原因是定价误差大。 之所以不使用有限差分法，是因为这种方法不如二叉树法直观，而且可以解决与二叉树法相同类型的问题。 主要优点是速度更快，精度更高。 但在实践中，我们通过实践发现，二叉树法已经具备了较高的运算速度和准确率高现金股利政策优缺点，因此无需使用有限差分法也可以实现合理定价。 在风险因子的选择上，我们推荐使用股价定价，因为股价更容易获得，而且这种方法是目前的主流。

另一方面，在蒙特卡罗方法中，我们建议采用郑振龙和林海（2004）的思想下调转股价格。 由于转股价格的向下修正具有路径依赖特性，不适用于二叉树法的后向前向定价方法。 因此，二叉树法只考虑回售条款，不考虑向下修正条款。

下面，我们将详细介绍二叉树方法和蒙特卡洛方法。 在二叉树方法中，我们将介绍不包含信用风险的二叉树模型，以及考虑信用风险的TF98模型； 在蒙特卡洛方法中，我们会介绍ZL模型和LSM模型。

符号说明

二叉树法

无信用风险的二叉树模型

考虑信用风险的TF98模型

蒙特卡罗法

ZL型

ZL模型思想

ZL模型由郑振龙和林海（2004）提出。 该模型对中国可转债市场提出了几点推论：

推论1：中国可转债发行公司的最优决策是促使投资者尽早以尽可能高的转股价格将可转债转为公司股票。

推论2：在中国特殊的制度背景下，可转债的股权性质占绝大多数，中国的信用风险溢价并不高。 贴现风险率对可转债价值影响不大。

推论3：由于我国可转债发行条款规定转股价格将根据公司股票的分红政策进行调整，因此可转债的转股权不会提前行权，实际上是欧式看涨期权。

推论 4：公司将选择尽可能短的赎回期。

推论5：转债发行人只有在面临回售压力时才会下调转股价格，下调幅度仅限于转债价值略高于回售价格。

根据推论1-5，在可转债生命周期内，若满足回购条件，发行人将修正转股价格，使投资者不会再卖出； 可转债将持有至到期，可转债的转换权视为欧式期权。 因此，向下修正后的转股价格为t时刻转售价值等于继续持有可转债价值时的转股价，t时刻继续持有可转债价值为欧式期权价值BS公式乘以转换比率，加上纯债务部分的价值。

ZL模型实现步骤

LSM模型

LSM 模型思想

根据ZL模型假设，由于可转债转股价格会根据分红政策进行修正，因此可转债不会在非赎回路径上提前行权，该期权可视为欧式期权. 但在现实中，可转债会提前行权，应视为美式期权，故上述假设与现实不符。 基于此，我们使用上面介绍的LSM模型对ZL模型进行修正。 在思路上，LSM模型假设非赎回路径上的可转债在转股期间随时可以行权，其他处理方式与ZL模型相同。

具体来说，在蒙特卡洛的每个时间节点，投资者知道即时行权的价值，但不知道继续持有可转债的价值。 LSM方法的思想是将期权持有价值Ft看成是当前状态变量St的线性组合：

线性组合的常见形式是Ft=a0+a1St+a2St平方。 具体对于可转债，在t时刻瞬时业绩值大于0的样本中，以t+1时刻的现金流量贴现作为因变量，以t时刻的转股价值作为自变量，并进行最小二乘回归以获得参数估计。 将t时刻的转换价值代入，可以得到t时刻持有价值的最佳线性估计。

获得持有价值后，通过比较持有价值与转换价值，可以得到投资者在每个时间点的决策。 以此为基础，可以得出可转债当前的理论价值。

LSM模型实现步骤